Отпуск, праздники и больничный

можно ли взять отпуск на январские праздники, например, с 23 декабря по 05 января?
и если заболеешь во время такого отпуска - он продлевается на дни больничного?

Можно.
Дни с 1 по 5 января не включаются в дни отпуска.

дни с 1 по 5 января днями отпуска являться не будут.

что это значит, что они не включаются в дни отпуска?

Отпуск будет с 23.12 по 31.12. И то при условии, что работодатель не против.
Если сотрудник не льготник, он не имеет права выбирать даты отпуска самостоятельно и делить его на части по своему усмотрению тоже

ТК РФ Статья 120.
Исчисление продолжительности ежегодных оплачиваемых отпусков

Нерабочие праздничные дни, приходящиеся на период ежегодного основного или ежегодного дополнительного оплачиваемого отпуска, в число календарных дней отпуска не включаются.

то-есть, они не оплачиваются?

да.

Если вы взяли отпуск на период с 23.12 по 05.01, то отпуск у вас 9 календарных дней, а остальное -праздники ( с1 по 5 января не входят в отпуск и не оплачиваются).

Если вы взяли отпуск на 14 календарных дней, то на работу вам только 14 января ( “отпускные” дни 23.12-31.12, 09.01-13.01 ; с 1-8 января нерабочие праздничные дни, они не входят в отпуск и не оплачиваются ).