Патент доп. образование

Нужно ли покупать отдельно патент по доп. образованию в Москве и Санкт-Петербурге, если планируется обучение в обоих регионах?
Как быть с онлайн обучением?

Добрый день!
Я думаю, что как раз с онлайн обучение Вам будет проще. ПСН применяется в отношении предпринимательской деятельности по оказанию услуг в сфере дошкольного образования и дополнительного образования детей и взрослых (подп. 15 п. 2 ст. 346.43 НК РФ).
При этом глава 26.5 НК РФ не предусматривает запрета на оказание указанных услуг с использованием информационно-телекоммуникационной сети Интернет.
И если к Вам поступит заказ из другого региона, то в том регионе получать патент не нужно (см., например, письма Минфина от 28.09.2020 № 03-11-11/84771, от 06.08.2019 № 03-11-11/59081).

А если я фактически буду проводить курс на территории другого региона (Москва), имея патент только на СПБ?

Вы имеете в виду - физически находиться в Москве, и вести курс? Тогда, я думаю, Вам понадобится второй патент. Ведь патенты в рамках ПСН, по общему правилу, действуют на территории того региона, где его выдали. И даже в рамках одного региона могут быть ограничения. (Это связано с разной величиной потенциального дохода - например, чтобы нельзя получить патент на торговлю в глубинке, а торговать в городе).