Учет средств поступивших за аренду квартиры

Какая СНО?

Можете, если ИП применяет УСН доходы.

Нет, денежные средства переводить не надо. Просто в КУДиР сделать запись о поступившем доходе.

Кто должен пробивать чек - надо смотреть ваш договор с Яндекс Арендой.