До какого числа организация должна встать на учет и подать списки на всех сотрудников
На воинский учет все военнообязанные становятся сами. Если у Вашего работника есть военный билет или приписное свидетельство, он стоит на воинском учете в том или ином комиссариате. У вас на любого работника, у кого стоит в паспорте на странице 13 отметка о том, что человек военнообязанный, должна быть карточка по форме 10, даже если он учится в магистратуре или по другим причинам имеет отсрочку. Вы не ставите работника на воинский учет в военкомат и не определяете, подлежит он призыву или не подлежит, это вопрос военкомата.
По описанной ситуации: если он окончил магистратуру и предоставил вам эту информацию, то вы должны уведомить военкомат об изменении уровня его образования. По срокам и форме отчетности уже писали выше в таблице: форма утверждена Приложением 1 к Методическим рекомендациям Генерального штаба Вооруженных Сил РФ по ведению воинского учета в организациях (2017 г.). Уведомляем в течение пяти дней с момента получения информации об изменениях. Если работник вам письменно не сообщал о получении диплома магистра (а он и не обязан этого делать), то вы ничего не сообщаете в военкомат. Если вы выясните, что человек не состоит на воинском учете, то нужно уведомить об этом военкомат. Сроки тоже указаны в ответах выше - три дня с момента выявления такого гражданина.
По второму вопросу. Нормы о ведении воинского учета действуют давно, и если организация не вела воинский учет, то законодательство не регулирует никаких чисел и сроков, до какого числа нужно исправить это нарушение. Если организация создана только что, то желательно не затягивать процесс с оформлением всех документов и предоставить их в военкомат. Штрафов за нарушение сроков постановки на учет в военкомате применительно к организации (а не к физлицу) нет.